Las Demostraciones en Matemáticas

El Team Mask trae para ustedes un breve comentario acerca de las demostraciones en matemáticas ya que las demostraciones son el corazón de las matemáticas. Si uno está estudiando matemáticas, uno debe venir a términos con las demostraciones — uno debe poder leer, entender y escribir demostraciones. ¿Qué es el secreto? ¿Qué magia necesita saber? La respuesta corta es: no hay secreto, ningún misterio, ninguna magia. Todo lo que es necesario es un poco de pensamiento racional y una comprensión básica de algunas técnicas confiables y fáciles de entender.

Una demostración matemática es un razonamiento realizado con una lógica válida que progresa a partir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción: fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión. El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de tesis, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

Demostración por contraposición (formalizado y utilizado en los silogismos por Aristóteles),

Demostración por reducción al absurdo (formalizado y utilizado por Aristóteles) y, como caso particular, descenso infinito; Inducción matemática e Inducción fuerte.

La estructura básica de una demostración es fácil: es justa una serie de declaraciones, cada declaración puede ser.

Una presuposición o,una conclusión que viene de una presuposición o de un resultado previamente demostrado.

Una demostración bien escrita debe de leerse suavemente. Es decir, el lector debe sentirse como si está tomado un paseo que lo lleva directamente e inevitable a la conclusión sin distracciones sobre los detalles inaplicables. Cada paso debe ser claro o por lo menos justificado claramente. Una demostración buena es fácil de seguir.

Cuando uno a acabado con la demostración, uno debe aplicar los criterios antedichos a cada oración: ¿es claramente una presuposición o una conclusión justificada? Si la oración no satisface los criterios, quizá no pertenece en la demostración.

Es sabido, que se puede demostrar cualquier cosa partiendo de unos axiomas determinados. Por ejemplo, se puede demostrar que los números naturales son infinitos, sin más que tener en cuenta los Axiomas de Peano (conjunto de 5 axiomas que definen los números naturales).

Hay que hacer notar que las matemáticas avanzadas confían sobre todo en definiciones, demostraciones, y notación, o sea no importa si la comunidad científica acepta una hipótesis o conjetura si no está demostrada no vale y así tenemos el ejemplo de la famosa Hipótesis de Riemann, en donde prácticamente toda la comunidad matemática acepta que es verdadera pero como no ha sido demostrada no tiene validez y crea duda y escepticismo.

Hasta que sea demostrada será válida y universal, no importa que se haya demostrado que hay infinitos ceros no triviales en la misma línea de la función z de Riemann o que potentes ordenadores no han encontrado un cero fuera de la línea, no ha sido demostrada y por eso es una de las demostraciones que ha traído de cabeza a los mejores matemáticos de la historia y a la vez es uno de los problemas del milenio.

La primera cosa que uno puede hacer para mejorar la habilidad al momento de hacer demostraciones matemáticas es encontrar un buen libro o libros. Un buen libro puede diferenciar entre aprendiendo el material y progresando en el libro, y estancándose en ejemplos mal explicados y ejercicios excesivamente difíciles.

Y para ayudar a los que desean mejorar sus habilidades en las demostraciones matemáticas el Team Mask les recomienda el libro: Como Entender y Hacer Demostraciones en Matemáticas de Daniel Solow, y lo pueden descargar:

Versión Online: Aquí

Descargar Archivo .pdf: Aquí

Botella de Klein: superficie sin interior ni exterior

Siguiendo con el ciclo de dar a conocer a los lectores del blog de Maskupnfm, esta vez se hablará de una superficie no orientable abierta de característica de Euler igual a cero, que muy pocos tienen conocimiento de ella, esa es la Botella de Klein, cuya particularidad es que no tiene interior ni exterior, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Félix Klein (Düsseldorf, 25 de abril de 1849 – Gotinga 22 de junio de 1925) Matemático alemán, que demostró que las geometrías métricas, euclídeas o no euclídeas, constituyen casos particulares de la geometría proyectiva, en 1872 presentó una notable clasificación de la geometría, el “programa de Erlangen”, que puso fin a la escisión entre geometría pura y geometría analítica. En esta clasificación el concepto de grupo desempeña un papel fundamental, ya que el objeto de cada geometría se convierte en el estudio del grupo de transformaciones que la caracteriza.

El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.

Y en la figura se puede observar claramente que la superficie no tiene interior ni exterior.

El propósito de este artículo, así como el de anteriores y de los que habrá más, es dar a conocer estas figuras para a los estudiantes de matemática, porque muy pocas personas tienen conocimientos de ellas y como futuros docentes deben conocerlas o por lo menos tener una lectura entretenida y aprender algo nuevo acerca del mundo de la matemática.

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Puentes de Konigsberg

El Team Mask les trae información acerca de unos puentes muy famosos, Los Puentes de Konigsberg que originaron un problema clásico pero no por ello falto de interés. Clásico porque es un problema muy conocido y estudiado; interesante porque está considerado como el comienzo de la topología, y, en particular, de la teoría de grafos.

Konigsberg (actualmente Kaliningrado, Rusia), era una ciudad de Prusia del siglo XVIII. El problema que nos ocupa tiene como protagonista a un río, el río Pregel, que cruzaba la ciudad, a dos islas que se encontraban en el mismo y a siete puentes que comunicaban las dos partes de la ciudad con las mismas. Concretamente la situación era como se describe en la imagen ( A y B son las dos partes de la ciudad y C y D las dos islas).

El problema consistía en comenzar en un punto, pasar por los siete puentes sin repetir ninguno y volver al punto de partida. Antes de seguir leyendo podéis intentarlo vosotros mismos, aunque os recomiendo que no le dediquéis demasiado tiempo.

Análisis y solución del problema

El problema, formulado originalmente de manera informal, consistía en responder a la siguiente pregunta:

Dado el mapa de Königsberg, con el río Pregolya dividiendo el plano en cuatro regiones distintas, que están unidas a través de los siete puentes, ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo sólo una vez cada uno, y regresando al mismo punto de partida?

La respuesta es negativa, es decir, no existe una ruta con estas características. El problema puede resolverse aplicando un método de fuerza bruta, lo que implica probar todos los posibles recorridos existentes. Sin embargo, Euler en 1736 en su publicación «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» demuestra una solución generalizada del problema, que puede aplicarse a cualquier territorio en que ciertos accesos estén restringidos a ciertas conexiones, tales como los puentes de Königsberg.

Para dicha demostración, Euler recurre a una abstracción del mapa, enfocándose exclusivamente en las regiones terrestres y las conexiones entre ellas. Cada puente lo representó mediante una línea que unía a dos puntos, cada uno de los cuales representaba una región diferente. Así el problema se reduce a decidir si existe o no un camino que comience por uno de los puntos azules, transite por todas las líneas una única vez, y regrese al mismo punto de partida.

Demostración

Euler determinó, en el contexto del problema, que los puntos intermedios de un recorrido posible necesariamente han de estar conectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.

En particular, como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes (tres de ellos inciden en tres líneas, y el restante incide en cinco), entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas.

Y así el Team Mask les ha traído información acerca de los orígenes de la Teoría de Grafos y de la Topología.

Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli

Una figura geométrica que a pesar de tener una superficie infinita posee un volumen finito.

Esta vez el Team Mask trae para ustedes información acerca de una figura geométrica que muchos desconocerán pero que en el pasado fue objeto de estudio y propicio una paradoja que más tarde fue resuelta.

Existen curiosos objetos que poseen propiedades lo suficientemente extrañas como para resultar atractivas para los matemáticos. Uno de los más conocidos es el Cuerno de Gabriel, a veces llamado Trompeta de Torricelli, una figura geométrica que a pesar de tener una superficie infinita posee un volumen finito. Ideada por Evangelista Torricelli (Faenza, Italia, 15 de octubre 1608 – Florencia, Italia, 25 de octubre 1647), este objeto ha dado lugar a una paradoja interesante: se necesitaría una cantidad infinita de pintura para pintar su interior, pero a la vez, sería posible llenar ese espacio finito con algunos litros de pigmento, cubriendo así su superficie.

Torricelli, además de ser célebre por su diversidad de descubrimientos, entre ellos el barómetro, realizó un descubrimiento de un sólido infinitamente largo llamado hoy día la trompeta de Gabriel. Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso por el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito en la que intervino el filósofo Thomas Hobbes.

La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.

La Trompeta de Torricelli se forma utilizando la gráfica de, y = 1/x, con el rango x ≥ 1(para evitar la asíntota en x = 0), y rotándola en tres dimensiones alrededor del eje X, con X tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.

 

Como se mencionó anteriormente, en el momento de su descubrimiento fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie. La solución de la paradoja es que la afirmación de que un área infinita requiere una cantidad finita de pintura presupone que una capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior de la trompeta, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral, pero es fácil de verificar integrando.

Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a

Si a tiende a infinito el volumen será finito.

Si a tiende a infinito la superficie es infinita.

Y así el Team Mask ha procurado que conozcas acerca de una figura geométrica importante y que por mucho tiempo fue objeto de estudio, pero que hoy en día tiene solución.

Juego de Ingenio: The River Test – versión 2.4.0

Esta vez el Team Mask, les trae a todos los usuarios de BlackBerry’s un excelente juego para que puedan probar su agilidad mental, su ingenio o su habilidad para crear estrategias, tomado del Blog especializado en BlackBerry: BBTeamWorld.

TEST DE INTELIGENCIA EN LA ENTREVISTA DE TRABAJO JAPONÉS, QUE SÓLO EL 10% DE LAS PERSONAS EN EL PLANETA PUEDE PASAR.

Este es el test de inteligencia japones que dan durante las entrevistas de trabajo para los puestos superiores. Se cree que sólo el 10% de las personas en el planeta puede resolver esta prueba. Y se ha creado un juego para ayudar a resolver esta prueba.

PRUEBA TU MISMO. PRUEBA A TUS AMIGOS.

El juego de La Prueba del Río se ha creado para asegurarse de que tiene el ambiente perfecto para resolver la tarea. Contiene todas las herramientas necesarias que se necesitan y que impide hacer un error.

REGLAS:

– Sólo dos personas en la balsa a la vez.
– El Padre no puede estar con ninguna de las hijas, sin la presencia de su Madre.
– La madre no puede permanecer con ninguno de los hijos, sin la presencia de su Padre.
– El ladrón (camisa a rayas) no puede permanecer con ningún miembro de la familia, si la policía no está allí.
– Sólo el Padre, la Madre y la policía saben operar la balsa.

Si deseas obtener este ingenioso juego para tu BlackBerry y probar tu destreza mental entonces descarga la app:

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Triángulo de Sierpinski

Muchas veces hemos visto en el Laboratorio de la universidad un cuadro con un singular y extraño triángulo y muy probablemente nos hemos preguntado que significará ese triángulo o que representa,  pues a continuación lo explicaremos:

El matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), construyó este triángulo en 1919, es un fractal que surge de repetir el mismo proceso, hasta el infinito, a partir de un triángulo equilátero. El proceso consiste en dividir el triángulo de partida en 4 semejantes uniendo los puntos medios de los lados del triángulo inicial. Luego eliminamos el triángulo central y volvemos a repetir el proceso con cada uno de los otros triángulos equiláteros que nos han quedado. Así una y otra vez, y otra más, y otra, hasta el fin de los tiempos y más allá.

Paso Inicial (0): Construimos un triángulo equilátero de lado a.

Paso 1: Uno los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura: Tres triángulos equiláteros sombreados y un hueco que es otro triángulo equilátero.

Paso 2: Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos sombreados y obtengo la siguiente figura:

Paso 3: Repetimos lo mismo en cada uno de los triángulos equiláteros sombreados obteniendo la figura siguiente:

Observamos que en cada paso el triángulo de Sierpinski se obtiene con tres figuras del paso  anterior, siendo cada una de ellas semejante a la del paso anterior y con razón de semejanza de ½.

Vemos que en cada paso el  triángulo de Sierpinski está formado por tres copias auto-semejantes del paso anterior.

Marie Curie

Hoy al cumplirse el 114 aniversario de esta extraordinaria mujer, pionera en varios campos científicos, se recopilan algunos datos de ella.

Maria Salomea Skłodowska-Curie, “conocida también como Marie Curie”, (7 de noviembre de 1867 – 4 de julio de 1934), fue una química y física polaca, posteriormente nacionalizada francesa. Pionera en el campo de la radioactividad, fue la primera persona en recibir dos Premios Nobel en dos diferentes campos y la primera mujer en ser profesora en la Universidad de París, fue la primera mujer en dar clases en la universidad en los 650 años transcurridos desde su fundación y fundó el Instituto Curie en París y en Varsovia.

En 1893 consigue la licenciatura de física y obtiene el primer puesto de su promoción; en 1894 también se licencia en matemáticas, la segunda de su promoción. En 1894 también conoce al que sería su marido, Pierre Curie, que era profesor de física. En 1895 se descubrieron los rayos X y en 1896 se descubre la radioactividad natural. Marie es animada por Pierre para que haga su tesis doctoral sobre este último descubrimiento.

Hasta ese momento, la única mujer que había logrado doctorarse era la alemana Elsa Neumann. Decidieron centrarse en los trabajos del físico Henri Becquerel, que había descubierto que las sales de uranio transmitían unos rayos de naturaleza desconocida. Obtuvo el doctorado y recibió mención cum laude.

Marie y Pierre estudiaron las hojas radiactivas, en particular el uranio, que tenía la curiosa propiedad de ser más radiactiva que el uranio que se extraía de ella. La explicación lógica fue suponer que contenía trozos de algún elemento mucho más radiactivo que el uranio.

También descubren que el torio podía producir radioactividad. Tras varios años de trabajo constante, aislaron dos nuevos elementos químicos. El primero, en 1898, fue nombrado como polonio en referencia a su país nativo. El otro elemento fue llamado radio debido a su intensa radiactividad. Poco después Marie obtuvo un gramo de cloruro de radio.

Junto con Pierre Curie y Henri Becquerel, Marie fue galardonada con el Premio Nobel de Física en 1903, Fue la primera mujer que obtuvo tal galardón. En 1910 demostró que se podía obtener un gramo de radio puro. Al año siguiente, recibió el Premio Nobel de Química.

Curie, después de quedarse ciega, murió cerca de Salanches, Francia, por anemia aplásica, probablemente consecuencia de las radiaciones a las que estuvo expuesta en sus trabajos, el 4 de julio de 1934. En 1995 sus restos fueron trasladados al Panteón de París, convirtiéndose así en la primera mujer en ser enterrada en él.

Pitágoras: Mucho más que un teorema

Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado tanto la división de la circunferencia en 360 grados como la forma actual de medir el tiempo en horas, minutos y segundos. Sus tablillas nos reservan unas cuantas sorpresas matemáticas. Quizás la más importante, la tablilla Plimpton, nos desvela el hecho sorprendente de que conocían las ternas pitagóricas mil años antes de que Pitágoras viera la luz. Disfrutaremos de alguna de las demostraciones gráficas más llamativas del famoso teorema, el que cuenta con un mayor número de demostraciones distintas a lo largo de la historia.

Parte 1:

Parte 2:

Problemas del Milenio

Los Problemas del milenio son siete problemas matemáticos cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares cada uno. Al día de hoy únicamente uno de estos problemas ha sido resuelto (La conjetura de Poincaré, por el ruso Grigori Perelman), por lo cual aún seis de ellos permanecen abiertos.

Se ha dado en llamar “Los siete problemas del Milenio” a siete enunciados que han traído de cabeza a los matemáticos de los últimos años del siglo XX, y que podrían haber sido ocho si el profesor Andrew Wiles no hubiera probado La Ultima Conjetura de Fermat en el año 1994.

Problemas sin resolver:

1 P versus NP
2 La Conjetura de Hodge
3 La hipótesis de Riemann
4 Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
5 Las ecuaciones de Navier-Stokes
6 La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Clay Mathematics Institute

El Clay Mathematics Institute (CMI) es una fundación sin fines de lucro de Cambridge, Massachusetts, dedicada a incrementar y diseminar el conocimiento matemático. Tiene varios premios e incentivos para matemáticos prometedores. El instituto fue fundado en 1998 por Landon T. Clay, quien la financia, y por el matemático Arthur Jaffe de la Universidad Harvard.

Problemas premiados del milenio

La actividad más conocida de esta fundación es el establecimiento en mayo de 2000 de los siete problemas del milenio. Los siete problemas escogidos son considerados por el CMI como “preguntas clásicas importantes que no han sido resueltas en años”. La primera persona que logre resolver siquiera uno de estos problemas recibirá un premio de un millón de dólares.