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Técnicas para concentrarse en los estudios

La falta de concentración durante el estudio afecta de forma significativa al rendimiento académico

“El problema es que no me concentro”. Esta excusa es habitual en muchos estudiantes de primaria o secundaria que, tras varias horas de estudio o trabajo, comprueban que el rendimiento ha sido nulo o muy escaso. ¿Se puede remediar este problema? Los especialistas afirman que todos los estudiantes tienen capacidad para concentrarse, pero hay que entrenar y practicar desde pequeños para que sea efectiva. La adquisición de distintas técnicas y hábitos de trabajo puede corregir en gran medida la falta de concentración.

Se le olvida todo lo que estudia, es incapaz de memorizar, pasa horas delante del libro y no aprende. Todos estos signos, si está descartado cualquier problema o déficit de aprendizaje, evidencian una significativa falta de concentración de los niños y jóvenes en edad escolar. Esta incapacidad para concentrarse es uno de los factores de riesgo que afectan al buen rendimiento académico del estudiante.

Por ese motivo, desde los primeros momentos en los que se detecta, es importante actuar para evitar que el problema se prolongue en etapas educativas posteriores. Los progenitores pueden ayudar a sus hijos si les inculcan desde muy pequeños determinados hábitos de trabajo y estudio y si practican con ellos ciertas técnicas mentales que favorecen el desarrollo de la capacidad de concentración.

Siete hábitos para concentrarse

  1. Ambientación del lugar de trabajo: para evitar distracciones que afecten a la concentración del estudiante, es esencial contar con un lugar de estudio aislado, libre de ruidos y sin elementos que puedan favorecer la falta de atención.
  2. Elegir el mejor horario: en el momento de elegir el horario de estudio, el alumno debe atender a sus preferencias según la hora en que se concentre mejor (por la mañana o por la noche), pero también de acuerdo al momento del día en el que pueda obtener mayor tranquilidad en el espacio de trabajo y a las horas en que esté más descansado.
  3. Pauta de estudio: para evitar la desconcentración que causa el cansancio, es recomendable establecer una pauta horaria estructurada que combine el descanso y el estudio. Algunos especialistas recomiendan estudiar en intervalos de 40-45 minutos y hacer un corte entre ellos de 10-15 minutos. Este descanso ayuda a despejar la mente y la prepara para el siguiente periodo de concentración.
  4. Organizar el material: levantarse a por una regla, tener que buscar el sacapuntas o salir de la habitación a por el diccionario son algunas de las distracciones que afectan a la concentración del estudiante. Se pueden evitar si antes de comenzar a estudiar se organiza con eficacia el espacio de estudio.
  5. ¿Solo o acompañado?: a muchos estudiantes, la sola presencia de un compañero en el mismo espacio de estudio les distrae de su tarea. Sin embargo, para otros resulta motivador y les incentiva a concentrarse en sus estudios, siempre que el acompañante tenga la misma actitud.
  6. Intercalar técnicas de estudio: memorizar durante dos horas seguidas o dedicar una jornada completa de estudio a hacer resúmenes y esquemas puede llegar a cansar al estudiante y a provocar que se desconcentre de sus tareas. Para evitarlo, conviene combinar durante la misma sesión de trabajo diferentes técnicas de estudio que la amenicen y la hagan más interesante para el estudiante.
  7. Cambiar de materia: si la falta de concentración es inevitable, una buena alternativa es cambiar de materia de estudio. Este cambio aportará al estudiante un nuevo interés y aumentará otra vez su concentración. Es probable que cuando cambie de nuevo, vuelva a concentrarse de manera adecuada en la materia anterior.

Técnicas que favorecen la concentración

La falta de concentración está provocada en muchas ocasiones por la ansiedad, la tensión o las preocupaciones. En este caso, el estudiante puede recurrir a distintas técnicas y ejercicios mentales que le ayudarán a relajarse y a preparar y ejercitar su mente para obtener una mayor concentración en sus estudios.

  • Tachar letras: un buen ejercicio de concentración consiste en coger una página de un periódico o revista que ya no nos sirva y tachar a la mayor velocidad posible una determinada letra. A medida que se adquiere práctica en este ejercicio, se pueden tachar dos o más letras para incrementar el nivel de concentración.
  • Visualizar una imagen: mediante esta técnica, el estudiante debe visualizar mentalmente una figura geométrica sencilla (un círculo, triangulo o cuadrado) e intentar fijar la atención en ella durante el mayor tiempo posible. Cuando la figura desaparezca, hay que apuntar el tiempo conseguido, tras contabilizarlo con un cronómetro. El ejercicio se debe repetir de forma periódica para intentar superar cada vez el tiempo anterior.
  • Juegos de atención: algunos sencillos juegos están diseñados de forma que quien los realiza debe entrenar su atención sin darse cuenta. Algunas propuestas son los tangram, las sopas de letras, buscar diferencias, ajedrez o los sudokus.
  • Música y sonidos: escuchar música también puede convertirse en un excelente ejercicio de concentración. El estudiante puede escuchar su música favorita e intentar concentrarse en distinguir cuándo suena un determinado instrumento. También en un ambiente en el que se intercalen distintos sonidos se puede “jugar” a intentar atender de forma exclusiva tan solo a uno de ellos.

Por Marta Vázquez-Reina

Numeración Maya

Esta vez el Team Mask les hablará de la Numeración Maya, gran civilización mesoamericana asentada en México, Guatemala, Honduras y El Salvador. Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (de base 20) de raíz mixta, similar al de otras civilizaciones mesoamericanas.

Los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero  alrededor del año 36 a. C. Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas.

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto  . Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal  , a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Los mayas fueron un pueblo sedentario, fueron poseedores de una de las culturas precolombinas más notables. Construyeron grandes templos y grandes ciudades como Copán (Ver imágenes), Nakbé, Uxmal, Palenque, Uaxactún, Altún Ha, Piedras Negras, Chichén Itzá y muchos otros sitios en el área.

Copán, importante ciudad maya, fue un destacado centro ceremonial además de uno de los principales centros científicos del período maya clásico, utilizado como observatorio astronómico. Se encuentra a 1,5 kilómetros del pueblo Copán Ruinas, entre La Laguna y Barbasqueadero, 12 kilómetros al Este de la frontera con Guatemala, departamento de Copán, al Oeste de Honduras.

Copán es uno de los más impresionantes sitios arqueológicos mayas que se han encontrado. Fue descubierta en la cuenca del río Motagua en 1570 por Diego García de Palacio. Fue bautizada como la Atenas del mundo Maya por su similitud arqueológica con aquella ciudad clásica. Por su riqueza arquitectónica e iconográfica es que ha sido declarada Patrimonio de la Humanidad en 1980.

La representación de cualquier número requiere sólo de tres símbolos: el uno representado por un punto (semilla), el cinco por una barra (un pedazo de rama, la vaina de alguna legumbre, etc.) y el cero por una concha que para los mayas significaba el cerrar un ciclo, el todo; no la ausencia, como en la filosofía y numeración occidental actual.

Hay que hacer notar que la numeración maya solo necesitaba de tres símbolos, el nuestro consta de más símbolos, el de otras civilizaciones actuales y del pasado también han necesitado muchos símbolos, pero el de los Mayas solo necesitaba tres y solo fue superado por el lenguaje binario (solo ceros y unos), de los ordenadores.

Banda de Möbius

Continuando con las figuras geométricas que han sido de gran relevancia en la matemática, como ha sido la Trompeta de Torricelli o la Botella de Klein, esta vez el Team Mask hablara de una superficie con una sola cara y un solo borde, llamada Banda de Möbius. ¿Cómo así?, Superficie que tiene una sola cara, aunque aparentemente se piense que tiene dos por ser una banda.

Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858.

August Ferdinand Möbius (17 de noviembre de 1790, Schulpforta, Sajonia, Alemania – 26 de septiembre de 1868, Leipzig) fue un matemático alemán y astrónomo teórico. Es muy conocido por su descubrimiento de la banda de Möbius, una superficie de dos dimensiones no orientable con solamente un lado cuando está sumergido en el espacio euclidiano tridimensional.

Fue descubierta independientemente por Johann Benedict Listing casi al mismo tiempo. Möbius fue el primero en introducir las coordenadas homogéneas en geometría proyectiva. La transformación de Möbius, importante en geometría proyectiva, no debe ser confundida con la transformación de Möbius de la teoría de números, que también lleva su nombre. Se interesó también por la teoría de números, y la importante función aritmética de Möbius μ(n) y la fórmula de inversión de Möbius se nombran así por él. Era descendiente de Martín Lutero.

La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

Tiene sólo una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido “ambos” bordes; por tanto, sólo tiene un borde.

Esta superficie no es orientable:

Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte. Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.1 Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta sino a cualquier otra distancia fija del borde, entonces se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una idéntica a la original pero más angosta y la otra con el doble de longitud y una vuelta completa.

Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Y así el Team Mask les mostró una figura poco conocida o que por lo menos en los centros educativos no la estudian ni la analizan y que ahora conocen y podrán investigar acerca de ella.

Cine y Matemática

A muchos de nosotros nos gusta el cine, llamado también el séptimo arte, el ir a ver películas al cine sirve como sana recreación y, si lo hacemos después de largas horas y días de estudio pues que mejor opción para botar estrés y cansancio, pero y qué tiene que ver el cine con la matemática.

Pues que los estudiantes de matemáticas y docentes pueden combinar lo que les apasiona, como ser las películas y las matemáticas, ¿Cómo así?, si el cine y las matemáticas no parecen en un principio muy afines. El Cine cultiva las emociones y las Matemáticas son el reino de la abstracción. Son muchos los contrastes entre ellos: los personajes y situaciones frente a los conceptos abstractos, el sentimiento frente al rigor lógico, los puntos de vista subjetivos frente a la objetividad de la verdad lógica.

Combinándose si en las películas se habla de matemáticas, si su trama gira en torno al saber matemático y así se pueden combinar dos pasiones de los estudiantes, docentes, personas en general, etc.

Además, no hay que obviar que puede servir como una herramienta útil de enseñanza, ya que el interés por las relaciones entre la matemática y el cine, o la forma de aprovechar la popularidad de este medio para “enganchar” a los alumnos a determinados aspectos de las matemáticas queda patente a la hora de observar como a los estudiantes les apasionan las películas, etc.

Pero no hay gran variedad de opciones para escoger, la opción más común es: La Habitación de Fermat de 2007, en donde la trama principal gira en torno a la conjetura de Goldbach y por eso la idea de este espacio es la de tener una gama de títulos de películas que tienen alguna relación con la matemática y/o la ciencia, que podrían ser útiles para establecer una semana del cine científico o para un ciclo de cine matemático que permita a los alumnos ver a la matemática desde una perspectiva más artística.

Si Versalles pudiese hablar (1953), Francia. De Sacha Guitry. Aparecen grandes matemáticos, como Lavoisier, Rousseau, D´Alembert, Voltaire.

Alexander the Great (1956), USA. De Robert Rossen. Trata la figura de Aristóteles

Evariste Galois(1965), Francia. De Alexandre Astruc. Cortometraje sobre la vida de Galois

Galileo (1968), Italia. De Liliana Cavani. Sobre la vida de Galileo

Stand and Deliver (1987), USA. De Ramón Menéndez. La batalla diaria de un profesor de matemáticas por lograr el éxito de sus alumnos.

N is a Number (1993), USA. De George Paul Csicsery. Documental de 57 min. sobre un matemático obsesionado por los problemas no resueltos.

Moëbius (1996), Argentina. De Gustavo Mosquera. Película hecha totalmente por un profesor de Matemáticas de la Facultad de Buenos Aires y sus alumnos. El encargado de resolver la desaparición de un vagón del Metro en Buenos Aires, descubre que alguien ha construido, sobre las vías del metro, una banda de Moëbius.

Cube (1997), Canadá. De Vicenzo Natali. Seis personas, entre ellas una estudiante de Matemáticas, se ven encerradas de modo inexplicable en un laberinto de habitáculos. Para encontrar la salida y evitar trampas mortales, han de ir descifrando una serie de claves numéricas.

Pi (Fe en el Caos) (1998), USA. De Darren Aronofsky. Trata sobre las relaciones de un matemático desequilibrado con el medio que le rodea y su progresiva e irremediable obsesión con la teoría de los números.

El indomable Will Hunting (1998), USA. De Gus van Sant. Un joven rebelde muy dotado para las matemáticas debe ponerse en manos de un psicólogo para evitar la cárcel. Recibió sendos Óscar al mejor guión y al mejor actor de reparto.

Una mente maravillosa (2001), USA. De Ron Howard. El atractivo y excéntrico Nash hizo un descubrimiento asombroso al comienzo de su carrera y se hizo famoso en todo el mundo. Pero su fulgurante ascenso sufrió un drástico cambio cuando su brillante mente se vio atacada por la esquizofrenia. Enfrentándose a este reto, Nash luchó por recuperarse con la ayuda de su devota esposa Alicia. Tras varias décadas de penalidades logró superar su tragedia y recibió el premio Nobel en el año 1994. Hoy en día, Nash es una leyenda viviente que sigue entregado a su trabajo.

La Habitación de Fermat (2007), España. De Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña. Cuatro matemáticos, desconocidos entre sí, son invitados por un misterioso anfitrión con el pretexto de resolver un gran enigma. La sala en que se encuentran resulta ser un cuarto menguante que les aplastará si no descubren a tiempo qué les une y por qué alguien quiere asesinarles.

21 Black Jack (2008), USA. De Robert Luketic. Esta película está basada en una historia real, 21 Blackjack, cuenta la historia de 5 estudiantes de matemáticas del MIT. Ben Campbell (Jim Sturgess) necesita $300.000 para realizar el pago de la universidad. Mickey Rosa (Kevin Spacey), profesor de Ben tiene la solución al problema, ha descubierto un sistema que permite vencer a los casinos.

Para ejecutar su plan, Mickey alecciona a un grupo de estudiantes bien “dotados” que ejecutan la técnica de conteo de cartas ante los cuidadores de los casinos. Con este método asaltan las mesas de blackjack en los casinos de Las Vegas.

Ágora (2009), España. De Alejandro Amenábar. Siglo IV. Egipto bajo el Imperio Romano. Las violentas revueltas religiosas en las calles de Alejandría alcanzan a su legendaria Biblioteca. Atrapada tras sus muros, la brillante matemática astrónoma Hipatia lucha por salvar la sabiduría del mundo antiguo con la ayuda de sus discípulos.

Y esas son algunas de las películas que están relacionadas con el mundo de las matemáticas, el Team Mask les traerá las películas para que las puedan descargar y visionarlas desde la comodidad de sus casas o para proyectos educativos.

Cooperar para enseñar y aprender

Muchas veces el trabajo en equipo puede ser una técnica valiosa a la hora de enfrentar una actividad, y si lo asociamos a nivel educativo aun mas, lo que más influye en los estudiantes y docentes de forma positiva es aquella que permite que haya compañerismo y trabajo en equipo, porque el trabajo en equipo puede dar muy buenos resultados; ya que normalmente genera el entusiasmo para que el resultado sea satisfactorio en las tareas encomendadas.

Los estudiantes a la hora de formar equipos de trabajo o estudio que fomentan un ambiente de armonía obtienen resultados beneficiosos. La actividad en efectividad y los estudiantes en sus relaciones sociales. El compañerismo se logra cuando hay trabajo y amistad.

Claro es mucho más fácil cuando se estudia en equipo, cuando se reúnen los compañeros para estudiar o para realizar una actividad asignada, porque lo que uno no entienda otro compañero lo puede ayudar y así todos los miembros del equipo pueden culminar con éxito la tarea, y si hay afinidad entre los miembros será más rápido el proceso, porque se omite el tiempo en captar las capacidades, habilidades y actitudes del compañero.

En los estudiantes de matemática es vital reunirse en equipos de estudio para poder enfrentarse a una evaluación o a varias evaluaciones, y por eso debe existir la cooperación entre compañeros de estudio; pero, para conseguir que aprendan en un equipo, no basta con agrupar a los alumnos; ni trabajar en equipo es sinónimo de cooperar. El aprendizaje cooperativo requiere una planificación detallada y compleja que, por supuesto, va mucho más allá de sentar juntos a alumnos y alumnas para que resuelvan una tarea. De entre las condiciones que debe reunir la actividad grupal para que pueda ser considerada como cooperativa, y que pueden encontrarse en Johnson, Johnson y Holubec (1999), destaca la interdependencia positiva. Con ello se hace referencia al hecho de que el éxito individual está ligado al del equipo y viceversa. En el trabajo cooperativo, a diferencia del simple trabajo de grupo, no es posible que un alumno aprenda, o que saque una buena nota, si el equipo en su conjunto no aprende o comparte también la misma calificación. El alumno depende del equipo y el equipo del alumno.

Los métodos de aprendizaje cooperativo (Monereo y Duran, 2002) son diseños didácticos que nos ayudan a convertir la actividad grupal en trabajo cooperativo. La voluntad de llevar el aprendizaje cooperativo a las aulas ha comportado la creación y el perfeccionamiento de multitud de estos métodos.

A la derecha se pueden observar estudiantes de la carrera de Matemáticas de la UPNFM (Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán), trabajando en equipo, cursan la asignatura de Tecnología Aplicada a la Matemática y la actividad asignada es el uso de Macromedia Flash.

En los equipos de estudio o trabajo, todos deben participar y se debe ser creativo a la hora de trabajar, como ser el empleo de técnicas que ayuden al propósito como ser mapas mentales, mapas conceptuales, lluvia de ideas, listado de atributos, etc.

Se podrán enfrentar obstáculos pero el interés por culminar con éxito la actividad debe y tiene que ser la prioridad, por tanto se debe tener en cuenta con quien realizar los trabajos en equipos.

Para resumir, se debe cooperar con los compañeros al momento del estudio de la matemática, porque es más difícil aprender individualmente o por sí solo, hay más ventajas de hacerlo en compañía de compañeros.

Las Demostraciones en Matemáticas

El Team Mask trae para ustedes un breve comentario acerca de las demostraciones en matemáticas ya que las demostraciones son el corazón de las matemáticas. Si uno está estudiando matemáticas, uno debe venir a términos con las demostraciones — uno debe poder leer, entender y escribir demostraciones. ¿Qué es el secreto? ¿Qué magia necesita saber? La respuesta corta es: no hay secreto, ningún misterio, ninguna magia. Todo lo que es necesario es un poco de pensamiento racional y una comprensión básica de algunas técnicas confiables y fáciles de entender.

Una demostración matemática es un razonamiento realizado con una lógica válida que progresa a partir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción: fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión. El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de tesis, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

Demostración por contraposición (formalizado y utilizado en los silogismos por Aristóteles),

Demostración por reducción al absurdo (formalizado y utilizado por Aristóteles) y, como caso particular, descenso infinito; Inducción matemática e Inducción fuerte.

La estructura básica de una demostración es fácil: es justa una serie de declaraciones, cada declaración puede ser.

Una presuposición o,una conclusión que viene de una presuposición o de un resultado previamente demostrado.

Una demostración bien escrita debe de leerse suavemente. Es decir, el lector debe sentirse como si está tomado un paseo que lo lleva directamente e inevitable a la conclusión sin distracciones sobre los detalles inaplicables. Cada paso debe ser claro o por lo menos justificado claramente. Una demostración buena es fácil de seguir.

Cuando uno a acabado con la demostración, uno debe aplicar los criterios antedichos a cada oración: ¿es claramente una presuposición o una conclusión justificada? Si la oración no satisface los criterios, quizá no pertenece en la demostración.

Es sabido, que se puede demostrar cualquier cosa partiendo de unos axiomas determinados. Por ejemplo, se puede demostrar que los números naturales son infinitos, sin más que tener en cuenta los Axiomas de Peano (conjunto de 5 axiomas que definen los números naturales).

Hay que hacer notar que las matemáticas avanzadas confían sobre todo en definiciones, demostraciones, y notación, o sea no importa si la comunidad científica acepta una hipótesis o conjetura si no está demostrada no vale y así tenemos el ejemplo de la famosa Hipótesis de Riemann, en donde prácticamente toda la comunidad matemática acepta que es verdadera pero como no ha sido demostrada no tiene validez y crea duda y escepticismo.

Hasta que sea demostrada será válida y universal, no importa que se haya demostrado que hay infinitos ceros no triviales en la misma línea de la función z de Riemann o que potentes ordenadores no han encontrado un cero fuera de la línea, no ha sido demostrada y por eso es una de las demostraciones que ha traído de cabeza a los mejores matemáticos de la historia y a la vez es uno de los problemas del milenio.

La primera cosa que uno puede hacer para mejorar la habilidad al momento de hacer demostraciones matemáticas es encontrar un buen libro o libros. Un buen libro puede diferenciar entre aprendiendo el material y progresando en el libro, y estancándose en ejemplos mal explicados y ejercicios excesivamente difíciles.

Y para ayudar a los que desean mejorar sus habilidades en las demostraciones matemáticas el Team Mask les recomienda el libro: Como Entender y Hacer Demostraciones en Matemáticas de Daniel Solow, y lo pueden descargar:

Versión Online: Aquí

Descargar Archivo .pdf: Aquí

Botella de Klein: superficie sin interior ni exterior

Siguiendo con el ciclo de dar a conocer a los lectores del blog de Maskupnfm, esta vez se hablará de una superficie no orientable abierta de característica de Euler igual a cero, que muy pocos tienen conocimiento de ella, esa es la Botella de Klein, cuya particularidad es que no tiene interior ni exterior, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Félix Klein (Düsseldorf, 25 de abril de 1849 – Gotinga 22 de junio de 1925) Matemático alemán, que demostró que las geometrías métricas, euclídeas o no euclídeas, constituyen casos particulares de la geometría proyectiva, en 1872 presentó una notable clasificación de la geometría, el “programa de Erlangen”, que puso fin a la escisión entre geometría pura y geometría analítica. En esta clasificación el concepto de grupo desempeña un papel fundamental, ya que el objeto de cada geometría se convierte en el estudio del grupo de transformaciones que la caracteriza.

El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.

Y en la figura se puede observar claramente que la superficie no tiene interior ni exterior.

El propósito de este artículo, así como el de anteriores y de los que habrá más, es dar a conocer estas figuras para a los estudiantes de matemática, porque muy pocas personas tienen conocimientos de ellas y como futuros docentes deben conocerlas o por lo menos tener una lectura entretenida y aprender algo nuevo acerca del mundo de la matemática.

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Puentes de Konigsberg

El Team Mask les trae información acerca de unos puentes muy famosos, Los Puentes de Konigsberg que originaron un problema clásico pero no por ello falto de interés. Clásico porque es un problema muy conocido y estudiado; interesante porque está considerado como el comienzo de la topología, y, en particular, de la teoría de grafos.

Konigsberg (actualmente Kaliningrado, Rusia), era una ciudad de Prusia del siglo XVIII. El problema que nos ocupa tiene como protagonista a un río, el río Pregel, que cruzaba la ciudad, a dos islas que se encontraban en el mismo y a siete puentes que comunicaban las dos partes de la ciudad con las mismas. Concretamente la situación era como se describe en la imagen ( A y B son las dos partes de la ciudad y C y D las dos islas).

El problema consistía en comenzar en un punto, pasar por los siete puentes sin repetir ninguno y volver al punto de partida. Antes de seguir leyendo podéis intentarlo vosotros mismos, aunque os recomiendo que no le dediquéis demasiado tiempo.

Análisis y solución del problema

El problema, formulado originalmente de manera informal, consistía en responder a la siguiente pregunta:

Dado el mapa de Königsberg, con el río Pregolya dividiendo el plano en cuatro regiones distintas, que están unidas a través de los siete puentes, ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo sólo una vez cada uno, y regresando al mismo punto de partida?

La respuesta es negativa, es decir, no existe una ruta con estas características. El problema puede resolverse aplicando un método de fuerza bruta, lo que implica probar todos los posibles recorridos existentes. Sin embargo, Euler en 1736 en su publicación «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» demuestra una solución generalizada del problema, que puede aplicarse a cualquier territorio en que ciertos accesos estén restringidos a ciertas conexiones, tales como los puentes de Königsberg.

Para dicha demostración, Euler recurre a una abstracción del mapa, enfocándose exclusivamente en las regiones terrestres y las conexiones entre ellas. Cada puente lo representó mediante una línea que unía a dos puntos, cada uno de los cuales representaba una región diferente. Así el problema se reduce a decidir si existe o no un camino que comience por uno de los puntos azules, transite por todas las líneas una única vez, y regrese al mismo punto de partida.

Demostración

Euler determinó, en el contexto del problema, que los puntos intermedios de un recorrido posible necesariamente han de estar conectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.

En particular, como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes (tres de ellos inciden en tres líneas, y el restante incide en cinco), entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas.

Y así el Team Mask les ha traído información acerca de los orígenes de la Teoría de Grafos y de la Topología.

Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli

Una figura geométrica que a pesar de tener una superficie infinita posee un volumen finito.

Esta vez el Team Mask trae para ustedes información acerca de una figura geométrica que muchos desconocerán pero que en el pasado fue objeto de estudio y propicio una paradoja que más tarde fue resuelta.

Existen curiosos objetos que poseen propiedades lo suficientemente extrañas como para resultar atractivas para los matemáticos. Uno de los más conocidos es el Cuerno de Gabriel, a veces llamado Trompeta de Torricelli, una figura geométrica que a pesar de tener una superficie infinita posee un volumen finito. Ideada por Evangelista Torricelli (Faenza, Italia, 15 de octubre 1608 – Florencia, Italia, 25 de octubre 1647), este objeto ha dado lugar a una paradoja interesante: se necesitaría una cantidad infinita de pintura para pintar su interior, pero a la vez, sería posible llenar ese espacio finito con algunos litros de pigmento, cubriendo así su superficie.

Torricelli, además de ser célebre por su diversidad de descubrimientos, entre ellos el barómetro, realizó un descubrimiento de un sólido infinitamente largo llamado hoy día la trompeta de Gabriel. Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso por el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito en la que intervino el filósofo Thomas Hobbes.

La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.

La Trompeta de Torricelli se forma utilizando la gráfica de, y = 1/x, con el rango x ≥ 1(para evitar la asíntota en x = 0), y rotándola en tres dimensiones alrededor del eje X, con X tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.

 

Como se mencionó anteriormente, en el momento de su descubrimiento fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie. La solución de la paradoja es que la afirmación de que un área infinita requiere una cantidad finita de pintura presupone que una capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior de la trompeta, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral, pero es fácil de verificar integrando.

Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a

Si a tiende a infinito el volumen será finito.

Si a tiende a infinito la superficie es infinita.

Y así el Team Mask ha procurado que conozcas acerca de una figura geométrica importante y que por mucho tiempo fue objeto de estudio, pero que hoy en día tiene solución.

Triángulo de Sierpinski

Muchas veces hemos visto en el Laboratorio de la universidad un cuadro con un singular y extraño triángulo y muy probablemente nos hemos preguntado que significará ese triángulo o que representa,  pues a continuación lo explicaremos:

El matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), construyó este triángulo en 1919, es un fractal que surge de repetir el mismo proceso, hasta el infinito, a partir de un triángulo equilátero. El proceso consiste en dividir el triángulo de partida en 4 semejantes uniendo los puntos medios de los lados del triángulo inicial. Luego eliminamos el triángulo central y volvemos a repetir el proceso con cada uno de los otros triángulos equiláteros que nos han quedado. Así una y otra vez, y otra más, y otra, hasta el fin de los tiempos y más allá.

Paso Inicial (0): Construimos un triángulo equilátero de lado a.

Paso 1: Uno los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura: Tres triángulos equiláteros sombreados y un hueco que es otro triángulo equilátero.

Paso 2: Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos sombreados y obtengo la siguiente figura:

Paso 3: Repetimos lo mismo en cada uno de los triángulos equiláteros sombreados obteniendo la figura siguiente:

Observamos que en cada paso el triángulo de Sierpinski se obtiene con tres figuras del paso  anterior, siendo cada una de ellas semejante a la del paso anterior y con razón de semejanza de ½.

Vemos que en cada paso el  triángulo de Sierpinski está formado por tres copias auto-semejantes del paso anterior.