Las Demostraciones en Matemáticas

El Team Mask trae para ustedes un breve comentario acerca de las demostraciones en matemáticas ya que las demostraciones son el corazón de las matemáticas. Si uno está estudiando matemáticas, uno debe venir a términos con las demostraciones — uno debe poder leer, entender y escribir demostraciones. ¿Qué es el secreto? ¿Qué magia necesita saber? La respuesta corta es: no hay secreto, ningún misterio, ninguna magia. Todo lo que es necesario es un poco de pensamiento racional y una comprensión básica de algunas técnicas confiables y fáciles de entender.

Una demostración matemática es un razonamiento realizado con una lógica válida que progresa a partir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción: fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión. El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de tesis, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

Demostración por contraposición (formalizado y utilizado en los silogismos por Aristóteles),

Demostración por reducción al absurdo (formalizado y utilizado por Aristóteles) y, como caso particular, descenso infinito; Inducción matemática e Inducción fuerte.

La estructura básica de una demostración es fácil: es justa una serie de declaraciones, cada declaración puede ser.

Una presuposición o,una conclusión que viene de una presuposición o de un resultado previamente demostrado.

Una demostración bien escrita debe de leerse suavemente. Es decir, el lector debe sentirse como si está tomado un paseo que lo lleva directamente e inevitable a la conclusión sin distracciones sobre los detalles inaplicables. Cada paso debe ser claro o por lo menos justificado claramente. Una demostración buena es fácil de seguir.

Cuando uno a acabado con la demostración, uno debe aplicar los criterios antedichos a cada oración: ¿es claramente una presuposición o una conclusión justificada? Si la oración no satisface los criterios, quizá no pertenece en la demostración.

Es sabido, que se puede demostrar cualquier cosa partiendo de unos axiomas determinados. Por ejemplo, se puede demostrar que los números naturales son infinitos, sin más que tener en cuenta los Axiomas de Peano (conjunto de 5 axiomas que definen los números naturales).

Hay que hacer notar que las matemáticas avanzadas confían sobre todo en definiciones, demostraciones, y notación, o sea no importa si la comunidad científica acepta una hipótesis o conjetura si no está demostrada no vale y así tenemos el ejemplo de la famosa Hipótesis de Riemann, en donde prácticamente toda la comunidad matemática acepta que es verdadera pero como no ha sido demostrada no tiene validez y crea duda y escepticismo.

Hasta que sea demostrada será válida y universal, no importa que se haya demostrado que hay infinitos ceros no triviales en la misma línea de la función z de Riemann o que potentes ordenadores no han encontrado un cero fuera de la línea, no ha sido demostrada y por eso es una de las demostraciones que ha traído de cabeza a los mejores matemáticos de la historia y a la vez es uno de los problemas del milenio.

La primera cosa que uno puede hacer para mejorar la habilidad al momento de hacer demostraciones matemáticas es encontrar un buen libro o libros. Un buen libro puede diferenciar entre aprendiendo el material y progresando en el libro, y estancándose en ejemplos mal explicados y ejercicios excesivamente difíciles.

Y para ayudar a los que desean mejorar sus habilidades en las demostraciones matemáticas el Team Mask les recomienda el libro: Como Entender y Hacer Demostraciones en Matemáticas de Daniel Solow, y lo pueden descargar:

Versión Online: Aquí

Descargar Archivo .pdf: Aquí

Publicado el 12 noviembre, 2011 en Archivos y etiquetado en , , , , , , , , , , . Guarda el enlace permanente. 6 comentarios.

  1. En verdad que todo matemático debe saber como demostrar, estamos obligados a hacerlo ya sea con pequeños teoremas o con problemas con un grado considerable de dificultad. Practiquemos nuestras demostraciones compañeros…Saludos

  2. Recuerdo ese dia Mario demostrando ese ejercicio el ultimo del nivel 3 de Geometria nosotros no pudimos y Mario solo lo vio y lo demostro, que gran habilidad 48 pasos y lo demostro la genialidad con que entiende la Geometria Mario es sorprendente…

  3. Creo que es importante interesarnos en el porque de los procedimientos matematicos.. excelente publicacion (y)

  4. muy interesante el articulo considero que es importante saber por que los procedimientos matematicos y recordar que la demostracion en matematicas es de suma importancia

  5. carmen cartagena

    las demostraciones y los procedimientos tiene que ser lo primordial al momento de ser maestros de matematicas.. muy buena publicacion compañeros

  6. muy interesante el articulo de verdad las demostraciones son fundamentales en las matematicas y la justificacionde la misma e muy importante, por eso es importante que aprendamos a demostrar bien y saber justificar bien cada paso, y pues utilizar el pensamiento logico para demostrar,

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: