Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli

Una figura geométrica que a pesar de tener una superficie infinita posee un volumen finito.

Esta vez el Team Mask trae para ustedes información acerca de una figura geométrica que muchos desconocerán pero que en el pasado fue objeto de estudio y propicio una paradoja que más tarde fue resuelta.

Existen curiosos objetos que poseen propiedades lo suficientemente extrañas como para resultar atractivas para los matemáticos. Uno de los más conocidos es el Cuerno de Gabriel, a veces llamado Trompeta de Torricelli, una figura geométrica que a pesar de tener una superficie infinita posee un volumen finito. Ideada por Evangelista Torricelli (Faenza, Italia, 15 de octubre 1608 – Florencia, Italia, 25 de octubre 1647), este objeto ha dado lugar a una paradoja interesante: se necesitaría una cantidad infinita de pintura para pintar su interior, pero a la vez, sería posible llenar ese espacio finito con algunos litros de pigmento, cubriendo así su superficie.

Torricelli, además de ser célebre por su diversidad de descubrimientos, entre ellos el barómetro, realizó un descubrimiento de un sólido infinitamente largo llamado hoy día la trompeta de Gabriel. Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso por el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito en la que intervino el filósofo Thomas Hobbes.

La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.

La Trompeta de Torricelli se forma utilizando la gráfica de, y = 1/x, con el rango x ≥ 1(para evitar la asíntota en x = 0), y rotándola en tres dimensiones alrededor del eje X, con X tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.

 

Como se mencionó anteriormente, en el momento de su descubrimiento fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie. La solución de la paradoja es que la afirmación de que un área infinita requiere una cantidad finita de pintura presupone que una capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior de la trompeta, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral, pero es fácil de verificar integrando.

Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a

Si a tiende a infinito el volumen será finito.

Si a tiende a infinito la superficie es infinita.

Y así el Team Mask ha procurado que conozcas acerca de una figura geométrica importante y que por mucho tiempo fue objeto de estudio, pero que hoy en día tiene solución.

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Publicado el 10 noviembre, 2011 en Archivos y etiquetado en , , , , , , , . Guarda el enlace permanente. 4 comentarios.

  1. Cabe destacar que Int(1/x)=ln(x) para x > 0 Teorema 5.2.1 para los que no lo recordaban, sigan leyendo nuestras publicaciones… este espacio es para aumentar nuestros conocimientos matematicos

  2. Wow, esta muy interesante este articulo, especialmente donde nos dice que es una figura geométrica que a pesar de tener una superficie infinita posee un volumen finito. Este fue un gran aporte que nos dio Torricelli…..

  3. En matemáticas existen las paradojas que solamente pueden ser explicadas por el cálculo ( son especie de contradicciones)

  1. Pingback: Banda de Möbius « maskupnfm

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